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純數學教程 版權信息
- ISBN：9787229186296
- 條形碼：9787229186296 ; 978-7-229-18629-6
- 裝幀：平裝-膠訂
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
純數學教程 本書特色
英國“**本數學分析書”，奠定了20世紀初數學分析課程基礎， 以通俗易懂的數學語言全面梳理經典數學相關概念， 對諸多數學論證給出了邏輯嚴密且詳細的推導過程，知其然更知其所以然。 每章皆收錄大量相關雜例與數學習題集，供讀者進一步了解與鞏固所學。 概念清晰，內容詳實，從*基礎的數學概念出發，逐步引導讀者進入更復雜的數學世界，讓非數學專業的學習者也能感受到數學之美。
純數學教程 內容簡介
《純數學教程》詳細梳理了經典數學相關概念，其知識框架清晰而有條理，囊括了數論、代數、幾何和拓撲學等多個領域。全書共分十章，每一章內容循序漸進、層層深入，從基礎的核心概念講起，提供嚴謹的證明過程，以及豐富的例子和習題。 **章至第三章介紹了實數、復數等概念，其中，第二章著重通過圖片展示的方式，直觀地分析與講解抽象的函數。第四章和第五章引入了極限、連續、振蕩等概念。第六章至第八章詳細介紹了微積分的概念和相關定理證明，如中值定理、達布定理等，此外，還論述了收斂的判別法。第九章和第十章，從多重角度出發，給出了指數函數、對數函數和三角函數的定義及其應用。
純數學教程 目錄
譯者序 / 1
前 言 / 5
**章 實變量 / 1
（1）有理數 1
（2）通過線上的點來代表有理數 2
（3）無理數 3
（4）無理數（續） 6
（5）無理數（再續） 7
（6）無理數（三續） 9
（7）無理數（四續） 10
（8）實數 11
（9）實數之間的大小比較 12
（10）實數的代數運算 14
（11）實數的代數運算（續） 15
（12）的研究 16
（13）二次方根 17
（14）關于二次方根的一些定理 18
（15）連續統 21
（16）連續實變量 23
（17）實數的分割 23
（18）極限點 25
（19）魏爾施特拉斯定理 26
例題集 27
第二章 實變量函數 / 37
（20）函數的定義 37
（21）函數的圖形表示法 40
（22）極坐標 41
（23）更多的函數以及圖形表示的例子 42
（24）B. 有理函數 44
（25）有理函數（續） 46
（26）C. 顯式代數函數 47
（27）D. 隱式代數函數 48
（28）超越函數 50
（29）F. 其他種類的超越函數 53
（30）包含著單一未知數的方程圖像解法 56
（31）二元函數以及它們的圖像表示法 57
（32）平面曲線 58
（33）空間中的軌跡 60
例題集 63
第三章 復 數 / 69
（34）直線與平面上的位移 69
（35）位移的相同性、位移的數乘法 70
（36）位移的加法 71
（37）位移的乘法 74
（38）位移的乘法（續） 75
（39）復數 76
（40）復數（續） 78
（41）方程 i2=-1 79
（42）與 i 相乘的幾何解釋 79
（43）方程 z2 1 = 0，az2 2bz c = 0 80
（44）阿爾干（Argand）圖 82
（45）棣莫弗定理 83
（46）幾個關于復數的有理函數定理 85
（47）復數的根 97
（48）方程 zn = a 的解 98
（49）棣莫弗定理的一般形式 101
例題集 101
第四章 正整數變量對應函數的極限 / 109
（50）正整數變量的函數 109
（51）函數插值 110
（52）有限集和無限集 111
（53）對于大數值 n 的函數性質 112
（54）對于大數值 n 的函數性質（續） 113
（55）“n 趨向于無窮” 的表述 114
（56）當 n 趨向于無窮時 n 的函數表現 115
（57）當 n 趨向于無窮時 n 的函數表現（續） 117
（58）極限的定義 117
（59）極限的定義（續） 119
（60）極限的定義（再續） 119
（61）關于定義的幾個基礎要點 120
（62）振蕩函數 123
（63）關于極限的一些定理 127
（64）定理 1 的附屬結果 128
（65）B. 兩個增減趨勢已知的函數乘積的增減趨勢 129
（66）C. 兩個增減趨勢已知的函數的差或商的增減趨勢 131
（67）定理 5 132
（68）定理 5（續） 133
（69）以 n 為變量且與 n 一起遞增的函數 134
（70）對定理的說明 137
（71）魏爾施特拉斯定理的另一種證明 137
（72）當 n 趨向于時 xn 隨著 n 變化的極限 138
（73） 的極限 142
（74）一些代數引理 143
（75） 的極限 145
（76）無窮級數 146
（77）關于無窮級數的一般定理 147
（78）無窮幾何級數 149
（79）用極限方法來表示連續實變量 154
（80）有界集合的邊界 157
（81）一個有邊界函數的邊界 158
（82）一個有邊界函數的不確定的極限 158
（83）有邊界函數的一般收斂性原則 161
（84）無邊界函數 162
（85）復數函數的極限及復數項的級數 163
（86）定理的延伸 164
（87）當 n →∞時，zn 的極限（z 是復數） 166
（88）當 z 是復數時的幾何級數 1 z z2 … 166
（89）符號 O，o，~ 168
例題集 169
第五章 一個連續變量的函數極限、連續函數與不連續函數 / 179
（90）當 x 趨向于 ∞ 時的極限 179
（91）當 x 趨向于 -∞ 時的極限 181
（92）第四章第 63—69 課時的結論對應的定理 182
（93）當 x 趨向于 0 時的極限 182
（94）當 x 趨向于 a 時的極限 184
（95）遞增或遞減函數 185
（96）不定元的極限以及收斂原則 185
（97）不定元的極限以及收斂原則（續） 187
（98）符號 O，o，~：大、小的級別對比 192
（99）一個實變量的連續函數 193
（100）一個實變量的連續函數（續） 195
（101）連續函數的基本性質 199
（102）連續函數的其余性質 201
（103）連續函數的取值范圍 202
（104）函數在區間內的振蕩 204
（105）第 103 課時定理 2 的另一種證明 205
（106）直線上的區間集，海恩-博萊爾（Heine-Borel）定理 206
（107）連續函數的振幅 209
（108）多元的連續函數 211
（109）隱函數 212
（110）反函數 214
例題集 216
第六章 導數與積分 / 221
（111）導數或微分系數 221
（112）一些一般性的注解 223
（113）一些一般性的注解（續） 226
（114）微分法的一些一般法則 227
（115）復函數的導數 230
（116）微分學的記號 230
（117）標準形式 232
（118）B. 有理函數 235
（119）C. 代數函數 236
（120）D. 超越函數 238
（121）高階導數 241
（122）關于導函數的一些一般性定理 245
（123）*大值與*小值 247
（124）*大值與*小值（續） 249
（125）*大值與*小值（再續） 249
（126）中值定理 257
（127）中值定理（續） 259
（128）柯西中值定理 259
（129）達（Darboux）定理 260
（130）積分 261
（131）實際的積分問題 262
（132）多項式 264
（133）有理函數 265
（134）有理函數的實際積分 268
（135）代數函數 269
（136）換元積分法和有理化積分法 269
（137）由圓錐曲線相連的積分 270
（138）積分 271
（139）積分 272
（140）積分 273
（141）分部積分法 273
（142）一般的積分，其中 y2 = ax2 2bx c 276
（143）超越函數 280
（144）以 x 的倍數的正弦與余弦為變量的多項式 280
（145）積分，及相關的積分 281
（146）cosx 和 sinx 的有理函數 281
（147）包含 arcsinx，arctan x 和 log x 的積分 283
（148）平面曲線的面積 284
（149）平面曲線的長度 285
例題集 290
第七章 微分和積分的其他定理 / 303
（150）更高階的中值定理 303
（151）泰勒定理的另一種形式 308
（152）泰勒級數 310
（153）泰勒定理的應用 A. 求*值 312
（154）B. 某些極限的計算 312
（155）C. 平面曲線的相切 315
（156）多變量函數的導數 320
（157）雙變量函數微分法 322
（158）雙變量函數微分法（續） 325
（159）雙變量函數的中值定理 326
（160）微分 328
（161）定積分和面積計算 332
（162）定積分 335
（163）圓的扇形面積，三角函數 336
（164）從定積分作為和的極限來計算定積分 340
（165）定積分的一般性質 341
（166）分部積分法和換元積分法 345
（167）利用分部積分法證明泰勒定理 348
（168）余項的柯西形式在二項式中的應用 349
（169）定積分的近似公式，辛普森公式 350
（170）實變量復數函數的積分 352
例題集 353
第八章 無窮級數與無窮積分的收斂 / 365
（171）前言 365
（172）正項級數 365
（173）正項級數（續） 366
（174）這些判別的**批應用 366
（175）比值判別法 367
（176）德里赫特判別法 371
（177）正項級數的乘法 371
（178）對于收斂與發散的額外判別法 373
（179）阿貝爾（或普林斯姆）定理 374
（180）麥克勞林（或柯西）積分判別法 376
（181）級數 377
（182）柯西并項判別法 379
（183）進一步的比值判別法 380
（184）無窮積分 381
（185）取值為正的情形 383
（186）替換積分法和分部積分法對無限積分的應用 386
（187）其他類型的無窮積分 389
（188）其他類型的無窮積分（續） 391
（189）其他類型的無窮積分（再續） 395
（190）正負項的級數 397
（191）絕對收斂級數 398
（192）德里赫特（Dirichlet）定理延伸到絕對收斂級數 400
（193）條件性收斂級數 400
（194）條件性收斂級數的收斂判別法 401
（195）交錯級數 402
（196）阿貝爾收斂判別法和德里赫特收斂判別法 405
（197）復數項的級數 408
（198）冪級數 409
（199）冪級數（續） 410
（200）冪級數的收斂域、收斂圈 410
（201）冪級數的唯一性 413
（202）級數的乘法 413
（203）絕對收斂無限積分和條件收斂無限積分 415
例題集 417
第九章 實變量的對數、指數及三角函數 / 427
（204）引言 427
（205）log x 的定義 428
（206）log x 滿足的函數等式 429
（207）log x 隨著 x 趨向于無窮時的情況 431
（208）當 x →∞ 時 x -α log x → 0的證明 431
（209）當 x → 0 時 log x 的性狀 432
（210）無窮的尺度， 對數的尺度 432
（211）數字 e 435
（212）指數函數 436
（213）指數函數的一般性質 437
（214）一般冪函數 ax 439
（215）ex 作為極限的表示法 440
（216）log x 作為極限的表示法 441
（217）常用的對數 442
（218）級數和積分收斂的對數判別法 449
（219）與指數函數、對數函數有關的級數，用泰勒定理展開ex 454
（220）對數級數 457
（221）反正切函數級數 459
（222）二項級數 462
（223）建立指數函數與對數函數理論的另一種方法 464
（224）三角函數的分析理論 466
（225）三角函數的解析理論（續） 469
（226）三角函數的解析理論（再續） 471
例題集 472
第十章 對數函數、指數函數和三角函數的一般理論 / 483
（227）單復變量的函數 483
（228）單復變量的函數（續） 484
（229）實數和復數曲線積分 484
（230）的定義 485
（231）Log ζ 的值 486
（232）指數函數 491
（233）expζ 的值 492
（234）exp ζ 滿足的函數方程 492
（235）一般的冪 aζ 493
（236）aζ 的一般值 494
（237）正弦和余弦的指數值 498
（238）對于所有的 ζ ，sin ζ 和 cos ζ 的定義 498
（239）推廣的雙曲線函數 499
（240）與，等有關的公式 500
（241）對數函數與反三角函數之間的聯系 503
（242） exp z 的冪級數 505
（243）cos z 和 sin z 的冪級數 507
（244）對數級數 509
（245）對數級數（續） 510
（246）對數級數的一些應用，指數極限 513
（247）二項式定理的一般形式 514
例題集 517
附錄 1 Hölder 不等式和 Minkowski 不等式 / 527
附錄 2 每一個方程都有一個根的證明 / 533
附錄 3 雙極限問題的注記 / 540
附錄 4 分析和幾何中的無窮 / 543
前 言 / 5
**章 實變量 / 1
（1）有理數 1
（2）通過線上的點來代表有理數 2
（3）無理數 3
（4）無理數（續） 6
（5）無理數（再續） 7
（6）無理數（三續） 9
（7）無理數（四續） 10
（8）實數 11
（9）實數之間的大小比較 12
（10）實數的代數運算 14
（11）實數的代數運算（續） 15
（12）的研究 16
（13）二次方根 17
（14）關于二次方根的一些定理 18
（15）連續統 21
（16）連續實變量 23
（17）實數的分割 23
（18）極限點 25
（19）魏爾施特拉斯定理 26
例題集 27
第二章 實變量函數 / 37
（20）函數的定義 37
（21）函數的圖形表示法 40
（22）極坐標 41
（23）更多的函數以及圖形表示的例子 42
（24）B. 有理函數 44
（25）有理函數（續） 46
（26）C. 顯式代數函數 47
（27）D. 隱式代數函數 48
（28）超越函數 50
（29）F. 其他種類的超越函數 53
（30）包含著單一未知數的方程圖像解法 56
（31）二元函數以及它們的圖像表示法 57
（32）平面曲線 58
（33）空間中的軌跡 60
例題集 63
第三章 復 數 / 69
（34）直線與平面上的位移 69
（35）位移的相同性、位移的數乘法 70
（36）位移的加法 71
（37）位移的乘法 74
（38）位移的乘法（續） 75
（39）復數 76
（40）復數（續） 78
（41）方程 i2=-1 79
（42）與 i 相乘的幾何解釋 79
（43）方程 z2 1 = 0，az2 2bz c = 0 80
（44）阿爾干（Argand）圖 82
（45）棣莫弗定理 83
（46）幾個關于復數的有理函數定理 85
（47）復數的根 97
（48）方程 zn = a 的解 98
（49）棣莫弗定理的一般形式 101
例題集 101
第四章 正整數變量對應函數的極限 / 109
（50）正整數變量的函數 109
（51）函數插值 110
（52）有限集和無限集 111
（53）對于大數值 n 的函數性質 112
（54）對于大數值 n 的函數性質（續） 113
（55）“n 趨向于無窮” 的表述 114
（56）當 n 趨向于無窮時 n 的函數表現 115
（57）當 n 趨向于無窮時 n 的函數表現（續） 117
（58）極限的定義 117
（59）極限的定義（續） 119
（60）極限的定義（再續） 119
（61）關于定義的幾個基礎要點 120
（62）振蕩函數 123
（63）關于極限的一些定理 127
（64）定理 1 的附屬結果 128
（65）B. 兩個增減趨勢已知的函數乘積的增減趨勢 129
（66）C. 兩個增減趨勢已知的函數的差或商的增減趨勢 131
（67）定理 5 132
（68）定理 5（續） 133
（69）以 n 為變量且與 n 一起遞增的函數 134
（70）對定理的說明 137
（71）魏爾施特拉斯定理的另一種證明 137
（72）當 n 趨向于時 xn 隨著 n 變化的極限 138
（73） 的極限 142
（74）一些代數引理 143
（75） 的極限 145
（76）無窮級數 146
（77）關于無窮級數的一般定理 147
（78）無窮幾何級數 149
（79）用極限方法來表示連續實變量 154
（80）有界集合的邊界 157
（81）一個有邊界函數的邊界 158
（82）一個有邊界函數的不確定的極限 158
（83）有邊界函數的一般收斂性原則 161
（84）無邊界函數 162
（85）復數函數的極限及復數項的級數 163
（86）定理的延伸 164
（87）當 n →∞時，zn 的極限（z 是復數） 166
（88）當 z 是復數時的幾何級數 1 z z2 … 166
（89）符號 O，o，~ 168
例題集 169
第五章 一個連續變量的函數極限、連續函數與不連續函數 / 179
（90）當 x 趨向于 ∞ 時的極限 179
（91）當 x 趨向于 -∞ 時的極限 181
（92）第四章第 63—69 課時的結論對應的定理 182
（93）當 x 趨向于 0 時的極限 182
（94）當 x 趨向于 a 時的極限 184
（95）遞增或遞減函數 185
（96）不定元的極限以及收斂原則 185
（97）不定元的極限以及收斂原則（續） 187
（98）符號 O，o，~：大、小的級別對比 192
（99）一個實變量的連續函數 193
（100）一個實變量的連續函數（續） 195
（101）連續函數的基本性質 199
（102）連續函數的其余性質 201
（103）連續函數的取值范圍 202
（104）函數在區間內的振蕩 204
（105）第 103 課時定理 2 的另一種證明 205
（106）直線上的區間集，海恩-博萊爾（Heine-Borel）定理 206
（107）連續函數的振幅 209
（108）多元的連續函數 211
（109）隱函數 212
（110）反函數 214
例題集 216
第六章 導數與積分 / 221
（111）導數或微分系數 221
（112）一些一般性的注解 223
（113）一些一般性的注解（續） 226
（114）微分法的一些一般法則 227
（115）復函數的導數 230
（116）微分學的記號 230
（117）標準形式 232
（118）B. 有理函數 235
（119）C. 代數函數 236
（120）D. 超越函數 238
（121）高階導數 241
（122）關于導函數的一些一般性定理 245
（123）*大值與*小值 247
（124）*大值與*小值（續） 249
（125）*大值與*小值（再續） 249
（126）中值定理 257
（127）中值定理（續） 259
（128）柯西中值定理 259
（129）達（Darboux）定理 260
（130）積分 261
（131）實際的積分問題 262
（132）多項式 264
（133）有理函數 265
（134）有理函數的實際積分 268
（135）代數函數 269
（136）換元積分法和有理化積分法 269
（137）由圓錐曲線相連的積分 270
（138）積分 271
（139）積分 272
（140）積分 273
（141）分部積分法 273
（142）一般的積分，其中 y2 = ax2 2bx c 276
（143）超越函數 280
（144）以 x 的倍數的正弦與余弦為變量的多項式 280
（145）積分，及相關的積分 281
（146）cosx 和 sinx 的有理函數 281
（147）包含 arcsinx，arctan x 和 log x 的積分 283
（148）平面曲線的面積 284
（149）平面曲線的長度 285
例題集 290
第七章 微分和積分的其他定理 / 303
（150）更高階的中值定理 303
（151）泰勒定理的另一種形式 308
（152）泰勒級數 310
（153）泰勒定理的應用 A. 求*值 312
（154）B. 某些極限的計算 312
（155）C. 平面曲線的相切 315
（156）多變量函數的導數 320
（157）雙變量函數微分法 322
（158）雙變量函數微分法（續） 325
（159）雙變量函數的中值定理 326
（160）微分 328
（161）定積分和面積計算 332
（162）定積分 335
（163）圓的扇形面積，三角函數 336
（164）從定積分作為和的極限來計算定積分 340
（165）定積分的一般性質 341
（166）分部積分法和換元積分法 345
（167）利用分部積分法證明泰勒定理 348
（168）余項的柯西形式在二項式中的應用 349
（169）定積分的近似公式，辛普森公式 350
（170）實變量復數函數的積分 352
例題集 353
第八章 無窮級數與無窮積分的收斂 / 365
（171）前言 365
（172）正項級數 365
（173）正項級數（續） 366
（174）這些判別的**批應用 366
（175）比值判別法 367
（176）德里赫特判別法 371
（177）正項級數的乘法 371
（178）對于收斂與發散的額外判別法 373
（179）阿貝爾（或普林斯姆）定理 374
（180）麥克勞林（或柯西）積分判別法 376
（181）級數 377
（182）柯西并項判別法 379
（183）進一步的比值判別法 380
（184）無窮積分 381
（185）取值為正的情形 383
（186）替換積分法和分部積分法對無限積分的應用 386
（187）其他類型的無窮積分 389
（188）其他類型的無窮積分（續） 391
（189）其他類型的無窮積分（再續） 395
（190）正負項的級數 397
（191）絕對收斂級數 398
（192）德里赫特（Dirichlet）定理延伸到絕對收斂級數 400
（193）條件性收斂級數 400
（194）條件性收斂級數的收斂判別法 401
（195）交錯級數 402
（196）阿貝爾收斂判別法和德里赫特收斂判別法 405
（197）復數項的級數 408
（198）冪級數 409
（199）冪級數（續） 410
（200）冪級數的收斂域、收斂圈 410
（201）冪級數的唯一性 413
（202）級數的乘法 413
（203）絕對收斂無限積分和條件收斂無限積分 415
例題集 417
第九章 實變量的對數、指數及三角函數 / 427
（204）引言 427
（205）log x 的定義 428
（206）log x 滿足的函數等式 429
（207）log x 隨著 x 趨向于無窮時的情況 431
（208）當 x →∞ 時 x -α log x → 0的證明 431
（209）當 x → 0 時 log x 的性狀 432
（210）無窮的尺度， 對數的尺度 432
（211）數字 e 435
（212）指數函數 436
（213）指數函數的一般性質 437
（214）一般冪函數 ax 439
（215）ex 作為極限的表示法 440
（216）log x 作為極限的表示法 441
（217）常用的對數 442
（218）級數和積分收斂的對數判別法 449
（219）與指數函數、對數函數有關的級數，用泰勒定理展開ex 454
（220）對數級數 457
（221）反正切函數級數 459
（222）二項級數 462
（223）建立指數函數與對數函數理論的另一種方法 464
（224）三角函數的分析理論 466
（225）三角函數的解析理論（續） 469
（226）三角函數的解析理論（再續） 471
例題集 472
第十章 對數函數、指數函數和三角函數的一般理論 / 483
（227）單復變量的函數 483
（228）單復變量的函數（續） 484
（229）實數和復數曲線積分 484
（230）的定義 485
（231）Log ζ 的值 486
（232）指數函數 491
（233）expζ 的值 492
（234）exp ζ 滿足的函數方程 492
（235）一般的冪 aζ 493
（236）aζ 的一般值 494
（237）正弦和余弦的指數值 498
（238）對于所有的 ζ ，sin ζ 和 cos ζ 的定義 498
（239）推廣的雙曲線函數 499
（240）與，等有關的公式 500
（241）對數函數與反三角函數之間的聯系 503
（242） exp z 的冪級數 505
（243）cos z 和 sin z 的冪級數 507
（244）對數級數 509
（245）對數級數（續） 510
（246）對數級數的一些應用，指數極限 513
（247）二項式定理的一般形式 514
例題集 517
附錄 1 Hölder 不等式和 Minkowski 不等式 / 527
附錄 2 每一個方程都有一個根的證明 / 533
附錄 3 雙極限問題的注記 / 540
附錄 4 分析和幾何中的無窮 / 543
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純數學教程 作者簡介
戈弗雷·哈羅德·哈代（1877—1947年），卒于劍橋。英國數學家，數學分析學派領袖。13歲進入以培養數學家著稱的溫切斯特學院，1896年轉入劍橋三一學院，1900年獲史密斯獎，以后在英國牛津大學、劍橋大學任教授。他培養和指導了包括印度數學奇才拉馬努金和我國數學家華羅庚在內的眾多數學大家，他所著《純數學教程》《數論導引》《不等式》等在國際數學界具有持久而重大的影響力。
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