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給孩子的數(shù)學(xué)解題思維課 版權(quán)信息
- ISBN：9787512719972
- 條形碼：9787512719972 ; 978-7-5127-1997-2
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊(cè)數(shù)：暫無(wú)
- 重量：暫無(wú)
- 所屬分類：>
給孩子的數(shù)學(xué)解題思維課 本書特色
適讀人群 ：3-14歲中國(guó)青年科學(xué)家寫給孩子的數(shù)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成指南 中國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)奧林匹克代表隊(duì)原總教練、領(lǐng)隊(duì)單墫，大數(shù)據(jù)專家、科技作家涂子沛，《*強(qiáng)大腦》“全球腦王”“腦王之王”獲得者楊易聯(lián)袂推薦
給孩子的數(shù)學(xué)解題思維課 內(nèi)容簡(jiǎn)介
如何激發(fā)孩子的數(shù)學(xué)興趣，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維方式和學(xué)習(xí)習(xí)慣，輕松拿下數(shù)學(xué)滿分，前奧數(shù)優(yōu)選、高考數(shù)學(xué)滿分學(xué)霸昍爸傾情分享幾十年壓箱底的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。為什么孩子總是粗心？為什么孩子的數(shù)學(xué)解題不能舉一反三？為什么聽著都懂了，換個(gè)題型就做不出來(lái)呢？為什么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要避免套路？為什么說(shuō)數(shù)學(xué)中語(yǔ)文閱讀能力很重要？為什么有的孩子刷一百個(gè)題不如別人刷一個(gè)題？……這本書中昍爸系統(tǒng)地總結(jié)了一套科學(xué)有效的數(shù)學(xué)解題思維訓(xùn)練方法，從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力練起，循序漸進(jìn)地升級(jí)數(shù)學(xué)能力，比如審題、解題方法訓(xùn)練，直至更高階的數(shù)學(xué)框架思維的建立。如果想要成為有創(chuàng)新力和思考力的滿分學(xué)霸，那么還可以繼續(xù)學(xué)習(xí)幾個(gè)優(yōu)選的數(shù)學(xué)思維大招，比如：*思考方法是否可以擴(kuò)展*思考是否有更好的解題法*思考如果自己是出題人作為父母，也許你不是數(shù)學(xué)學(xué)霸，但在本書的幫助下，你一樣可以輕松地培養(yǎng)好孩子的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，讓他對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)之美，并成功跨越數(shù)學(xué)能力的分水嶺，為他一生的理性思維和嚴(yán)謹(jǐn)習(xí)慣打下基礎(chǔ)。
給孩子的數(shù)學(xué)解題思維課 目錄
緒論中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)什么和怎么學(xué)學(xué)好數(shù)學(xué)有方法數(shù)學(xué)是好的思維體r /> 培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)推理能力基礎(chǔ)篇章 辨識(shí)問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要分球問(wèn)題歐拉通路還是哈密爾頓通路大黃蜂找蜂房容斥原理問(wèn)題第2章 閱讀理解不過(guò)關(guān)。數(shù)學(xué)肯定好不讀錯(cuò)題會(huì)錯(cuò)意真的讀不懂第3章 沒(méi)有學(xué)會(huì)走路就想跑是學(xué)大忌方法一：枚舉法方法二：抽象法方法三：組合法方法四：標(biāo)數(shù)法第4章 套路是我們的敵人可怕的數(shù)學(xué)套路學(xué)習(xí)法“鏡子大法”是必需的嗎學(xué)會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化第5章 沒(méi)有葫蘆怎么畫瓢正向搜索逆向搜索第6章 類比與歸納從一維到二維再到三維從特殊到一般第7章 問(wèn)題的抽象、轉(zhuǎn)化與分解問(wèn)題的抽象——獨(dú)輪車小偵探問(wèn)題的抽象——老鼠和迷宮問(wèn)題的轉(zhuǎn)化——對(duì)偶圖的一筆畫問(wèn)題的分解——行程問(wèn)題第8章 建立框架思維以面積問(wèn)題為例看框架思維面積的規(guī)則圖形的面積公式及推導(dǎo)不規(guī)則圖形面積的求解方法第9章 解數(shù)學(xué)題需要毅力和信念周期為60的毅力幾何無(wú)王者之道0章 解嗎解性的證明存在不解1章 如何做好驗(yàn)算驗(yàn)算原則驗(yàn)算方法提升篇2章 批判性思維的重要性一道找規(guī)律題敲鐘問(wèn)題軸對(duì)稱日3章 是優(yōu)解嗎優(yōu)配置問(wèn)題優(yōu)策略問(wèn)題4章 方法可擴(kuò)展嗎關(guān)于速算技巧數(shù)長(zhǎng)方形計(jì)算線段長(zhǎng)度之和5章 一題多解數(shù)長(zhǎng)方形誰(shuí)先到咖啡館算術(shù)解法與方程解法綜合案例篇綜合案例一：翻硬幣問(wèn)題變化一變化二變化三綜合案例二：中國(guó)剩余定理問(wèn)題從笨的辦法開始是不是解驗(yàn)算方法可擴(kuò)展嗎一般解法所給的問(wèn)題一定存在解嗎大膽猜測(cè)，小心求證總結(jié)綜合案例三：一道求面積題識(shí)別問(wèn)題錯(cuò)在哪里一題多解總結(jié)
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給孩子的數(shù)學(xué)解題思維課 節(jié)選
中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)什么和怎么學(xué) 學(xué)好數(shù)學(xué)有方法 我小時(shí)候?qū)W數(shù)學(xué)，很少有人教套路。不少人問(wèn)我數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有沒(méi)有什么經(jīng)驗(yàn)，我總結(jié)了幾點(diǎn)，也許對(duì)大家有用。 重視基本概念 學(xué)好數(shù)學(xué)，搞清楚基本概念非常重要。基本概念不僅在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要，在整個(gè)科學(xué)領(lǐng)域一樣重要。 南京大學(xué)計(jì)算機(jī)系泰斗級(jí)人物徐家福先生就非常強(qiáng)調(diào)基本概念。他每次給學(xué)生做講座，都要強(qiáng)調(diào)說(shuō)：“基本概念、基本概念、基本概念！” 歐幾里得的平面幾何奠定了西方公理化方法的基礎(chǔ)。公理化方法是“從某些基本概念和基本命題出發(fā)，根據(jù)特定的演繹規(guī)則，推導(dǎo)一系列的定理，從而構(gòu)成一個(gè)演繹系統(tǒng)”的方法。歐氏幾何的數(shù)學(xué)大廈就是由基本概念（包括基本元素、基本關(guān)系）、公理、公設(shè)、演繹規(guī)則和定理構(gòu)成。其中，基本概念居于重要的位置。 很多數(shù)學(xué)問(wèn)題其實(shí)*終考查的是對(duì)基本概念的理解程度，但很多人還沒(méi)搞清楚基本概念和定義時(shí)就去追求公式記憶和快速解題，這就有點(diǎn)兒本末倒置了。 比如提到圓，很多人都會(huì)立刻想到圓的周長(zhǎng)和面積公式，但往往忽略了一個(gè)*重要的性質(zhì)，就是圓上的任何一點(diǎn)到圓心的距離都相等。 比如高中時(shí)學(xué)的橢圓和雙曲線，很多人都側(cè)重于去記橢圓和雙曲線的代數(shù)方程。但除了方程，這些曲線還有它們的幾何意義。許多時(shí)候，這些幾何含義可以成為解決問(wèn)題的利器。 重視結(jié)論背后的原理 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我很少刻意去背公式和記結(jié)論，因?yàn)楹茈y記住自己不理解的結(jié)論，即便一時(shí)記住，也容易忘記或記錯(cuò)。 比如小學(xué)低年級(jí)的植樹問(wèn)題、乘法分配律，我肯定會(huì)通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法去加深理解。 我記得某個(gè)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了讓孩子記住乘法分配律，用了個(gè)警察抓小偷的故事來(lái)輔助記憶。但如果用下面數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)輔助理解乘法分配律，是不是想忘記都難？ 8×（6+4）=8×6+8×4 現(xiàn)在很多機(jī)構(gòu)都大力宣傳各種速算技巧，這些其實(shí)完全沒(méi)有必要刻意去學(xué)。每一種速算都有它的適用范圍，一不小心就容易搞混、記錯(cuò)。數(shù)的位值表示、交換律、結(jié)合律、分配律、因數(shù)分解等，才是各類速算技巧背后的核心原理。 類似于“用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)和一個(gè)兩位數(shù)，使得兩個(gè)數(shù)乘積*大”的問(wèn)題，我更不會(huì)去記給自己的思想戴上枷鎖的所謂“U型圖解法”。 除了上面的簡(jiǎn)單例子，還有等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和以及大部分三角公式，我也不會(huì)刻意去記公式，而是重視這些公式的推導(dǎo)過(guò)程。這樣習(xí)得的知識(shí)，才能記得牢、用得活。 有一股鉆勁兒 這一點(diǎn)可能是不少孩子在學(xué)數(shù)學(xué)的過(guò)程中所欠缺的。特別是現(xiàn)在很多培訓(xùn)講究學(xué)套路，不重視探索的過(guò)程，*后純粹變成了比誰(shuí)見過(guò)的套路多。孩子一旦碰到?jīng)]有見過(guò)的問(wèn)題，就容易產(chǎn)生畏難情緒從而放棄。 學(xué)好數(shù)學(xué)必須有一股挑戰(zhàn)難題的韌勁兒。如果不經(jīng)常花一兩個(gè)小時(shí)或更長(zhǎng)時(shí)間去啃一道難題、消化難題，那數(shù)學(xué)是很難學(xué)好的。即便一段時(shí)間考了高分，那也不值得沾沾自喜，這種高分往往是曇花一現(xiàn)。 歐幾里得曾說(shuō)過(guò)“幾何無(wú)王者之道”，這一點(diǎn)我非常贊同，包括幾何在內(nèi)的所有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都沒(méi)有捷徑。一切宣稱可以快速提分的，往往都是飲鴆止渴。數(shù)學(xué)問(wèn)題可以千變?nèi)f化，我們需要的是修煉好內(nèi)功，這樣才能以不變應(yīng)萬(wàn)變。 形成自己的解題模式 不少人追求刷題量，*后導(dǎo)致解數(shù)學(xué)問(wèn)題純粹變成了肌肉記憶和條件反射。我曾和一些孩子聊過(guò)，他們雖然可以條件反射般快速給出一些問(wèn)題的答案，但據(jù)我觀察，他們其實(shí)并沒(méi)有理解問(wèn)題的本質(zhì)。這種做法在小學(xué)階段提分效果可能不錯(cuò)，但越往后效果會(huì)越差，副作用也越大。 我不建議海量刷題，但并不是說(shuō)不用做題。不解題肯定學(xué)不好數(shù)學(xué)，而解題的關(guān)鍵在于用什么樣的解題方法。經(jīng)過(guò)多年的實(shí)踐，我形成了一套自己的解題模式，以便于獲得*佳解題效果。具體來(lái)說(shuō)，我將解題的整個(gè)過(guò)程分為應(yīng)試和提升兩個(gè)階段，后文將對(duì)此進(jìn)行詳細(xì)講解。 應(yīng)試階段分為五步： （1）仔細(xì)讀題審題。 這個(gè)階段很重要，千萬(wàn)不要圖快，*好把題目讀上兩遍，揣摩清楚出題人的意圖。 （2）觀察聯(lián)想。 觀察、識(shí)別問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和模式，并與自己知識(shí)結(jié)構(gòu)中的已知問(wèn)題進(jìn)行分析、對(duì)比。 （3）探索和求解。 在這個(gè)過(guò)程中，很多時(shí)候都是通過(guò)類比、歸納尋找解題的思路。在小學(xué)階段，這個(gè)過(guò)程對(duì)于提升孩子的數(shù)學(xué)能力來(lái)說(shuō)非常重要，類比和歸納是人類解決未知問(wèn)題的“法寶”。當(dāng)然，探索和求解的方法還有很多，本書在后面會(huì)有詳細(xì)闡述。 （4）永遠(yuǎn)不要忘了問(wèn)“解唯一嗎”。 這一點(diǎn)很重要，非常考驗(yàn)思維的完備性。一道題10分，如果有2個(gè)答案，你只答了1個(gè)，那就只得5分。找出其他所有解，或者證明這就是唯一解，這在數(shù)學(xué)上非常重要。 （5）學(xué)會(huì)驗(yàn)算。 驗(yàn)算并不是簡(jiǎn)單地將題目重新做一遍，而是一門學(xué)問(wèn)。關(guān)于驗(yàn)算的內(nèi)容，本書后面有專門章節(jié)闡述。這里只講幾點(diǎn)： 首先，驗(yàn)算方法千萬(wàn)條，讀對(duì)題目**條，確保沒(méi)有讀錯(cuò)題和會(huì)錯(cuò)意是*重要的； 其次，要即時(shí)驗(yàn)算、步步為營(yíng)； *后，驗(yàn)算方法多種多樣，比如代入法、殊途同歸法、特殊值法、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證法、估算法等。要選擇*適合所給問(wèn)題的方法。 如果是考試，那么到這兒解題就結(jié)束了。但作為平時(shí)的練習(xí)，到這里還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。后面的思考才是對(duì)提升數(shù)學(xué)解題能力作用*大的。這就好比健身，當(dāng)你開始出汗的時(shí)候，后面一段時(shí)間的堅(jiān)持才是鍛煉效果*好的。 那么還需要做什么呢？ （1）需要問(wèn)自己：所采用的方法是否可以擴(kuò)展？ 比如，這個(gè)方法在n=10的時(shí)候可以用，但變成n=1000的時(shí)候還能不能用？ （2）永遠(yuǎn)要問(wèn)自己，是否有其他解決方法？ 努力做到一題多解，并學(xué)會(huì)分析每種方法的好壞和適用條件。一般而言，效率和普適性往往是一對(duì)矛盾體。高效的方法并不一定適用于所有場(chǎng)景；反之，低效的方法卻可能更通用。 （3）變換角色，把自己當(dāng)成出題人。 想一想如果自己來(lái)出題，可以怎么改變出題條件，真正做到舉一反三。 如果能夠做到這些，那我相信數(shù)學(xué)解題能力想不提升都難。 數(shù)學(xué)是*好的思維體操 雖說(shuō)很多學(xué)科都可以培養(yǎng)孩子的思維能力，但毋庸置疑的是，數(shù)學(xué)仍是*好的思維體操。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)孩子的抽象能力、推理能力和解決問(wèn)題的能力，并鍛煉公理化系統(tǒng)方法。我認(rèn)為，數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)孩子的12大能力和6大優(yōu)秀品質(zhì)。這些能力和品質(zhì)對(duì)孩子日后的工作和生活具有非常積極的意義。 培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)推理能力 在中小學(xué)階段，我們要循序漸進(jìn)地培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)推理能力。具體來(lái)講，小學(xué)階段，類比推理和歸納推理是需要重點(diǎn)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)能力。在小學(xué)高年級(jí)和中學(xué)階段，演繹推理將逐漸扮演更重要的角色。 類比推理是根據(jù)兩個(gè)（或兩類）事物的某些屬性相同或相似，推出它們另一屬性也相同或相似的推理方法，是一種從特殊到特殊的推理方法。 聽著很玄乎，其實(shí)說(shuō)白了就是依葫蘆畫瓢。 比如，知道圓的定義是由所有到圓心的距離相等的點(diǎn)構(gòu)成的集合，那么三維中球面的定義應(yīng)該是由所有到球心的距離相等的點(diǎn)構(gòu)成的曲面。 又如，我們知道在十進(jìn)制中，被9整除的數(shù)的特征是其各位數(shù)字之和能被9整除，其推理過(guò)程是基于數(shù)的位值表示，例如： 297=2×102+9×10+7 ??=2×（99+1）+9×（9+1）+7 ??=2×99+9×9+2+9+7 因此，297能被9整除當(dāng)且僅當(dāng)其各位數(shù)字之和（2+9+7）能被9整除。 我們可以做這樣的類比：7進(jìn)制中，被6整除的數(shù)的特征是其各位數(shù)字之和能被6整除。推理過(guò)程也可以類比十進(jìn)制的推理。 435（7）=4×100（7）+3×10（7）+5 ????=4×（66（7）+1）+3×（6（7）+1）+5 ????=4×66（7）+3×6（7）+4+3+5 因此，435（7）能被6整除等價(jià)于其各位數(shù)字之和（4+3+5）能被6整除。 再看一個(gè)幾何的例子： 下圖的正方形邊長(zhǎng)為1，首先被分成四個(gè)相等的正方形，將左上角涂色，然后再將右下角的正方形一分為四，將左上角的涂色。如果我們一直持續(xù)這一過(guò)程，那么*后被涂色的部分占整個(gè)面積的幾分之幾？ 這個(gè)問(wèn)題*直接的做法是用小學(xué)生不能理解的無(wú)窮級(jí)數(shù)求和。如果不用無(wú)窮級(jí)數(shù)求和，可以這樣考慮：去掉右下角的1/4塊后，剩下的這部分，涂色部分占1/??3。 在剩下的1/4塊里，我們?cè)偃サ暨@個(gè)1/4塊的右下角，那么涂色部分依然占整個(gè)面積的1/??3。 依此類推，每次都摳掉右下角的一小塊，涂色部分的面積在不同的尺度上都是整個(gè)面積的1/??3，因此*后被涂色部分的面積為整個(gè)正方形面積的1/??3。 基于這個(gè)思路，我們是不是可以解決下面這個(gè)問(wèn)題。 在下面的黃色正三角形ABC中，分別取三邊的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)并分別連接，然后分別取DE，EF，DF三邊的中點(diǎn)H，I，G，并將△DGH，△EHI，△GIF涂成藍(lán)色。接著，對(duì)中間的小三角形GHI重復(fù)上述操作。如果這一操作一直持續(xù)下去，請(qǐng)問(wèn)，圖中涂成藍(lán)色部分的面積占整個(gè)正三角形面積的幾分之幾？（答案及解析可在公眾號(hào)“昍爸說(shuō)數(shù)學(xué)與計(jì)算思維”中獲取） 但是，由于類比推理的邏輯根據(jù)是不充分的，帶有或然性，具有猜測(cè)性，不一定可靠，不能作為一種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法，因此還須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯論證，才能確認(rèn)猜測(cè)結(jié)論的正確性。 比如：“這篇小說(shuō)只有1000字，文字很流暢，這篇小說(shuō)得獎(jiǎng)了。你寫的這篇小說(shuō)也是1000字，文字也很流暢，因此也一定能得獎(jiǎng)。”這樣的類比無(wú)疑會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。 又如，人類一直希望找到適合生命生存的外星系類地行星，這就是一種類比推理。根據(jù)行星的構(gòu)造、溫度、距離恒星的遠(yuǎn)近等方面具有與地球類似的特征，因此推斷其也可能有生命存在。這樣的推理結(jié)論并不一定正確。 歸納推理 歸納推理是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理過(guò)程，是由關(guān)于個(gè)別事物的某方面觀點(diǎn)過(guò)渡到范圍較大的觀點(diǎn)，由特殊具體的事例推導(dǎo)出一般原理、原則的解釋方法。 聽著復(fù)雜？其實(shí)就是找規(guī)律！ 可以說(shuō)，歸納推理能力的培養(yǎng)對(duì)于解決未知問(wèn)題具有重要的作用，是小學(xué)階段應(yīng)該花力氣重點(diǎn)培養(yǎng)的一種能力。 先看一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題： 2，5，8，11，…，這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)是多少? 這個(gè)問(wèn)題顯然需要在特殊的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是在前一項(xiàng)的基礎(chǔ)上加3，那么第100項(xiàng)應(yīng)該是在第1項(xiàng)的基礎(chǔ)上加99個(gè)3，即為2+99×3。可以因此歸納出，第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式應(yīng)該是2+（n－1）×3。 再如，我們知道三角形、四邊形、五邊形的內(nèi)角和分別為180°，360°，540°，據(jù)此，我們可以歸納出n邊形的內(nèi)角和應(yīng)該是（n－2）× 180°。
給孩子的數(shù)學(xué)解題思維課 作者簡(jiǎn)介
昍爸 中國(guó)科學(xué)院計(jì)算機(jī)博士，南京師范大學(xué)計(jì)算機(jī)專業(yè)教授，獲得“南京師范大學(xué)百名青年領(lǐng)軍人才”“江蘇省青藍(lán)工程優(yōu)秀青年骨干教師”等稱號(hào)，首屆中國(guó)計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)科學(xué)普及工作委員會(huì)委員，美國(guó)加州大學(xué)訪問(wèn)學(xué)者。在國(guó)內(nèi)外高水平期刊和國(guó)際會(huì)議發(fā)表論文60余篇，主持國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目3項(xiàng)，獲得國(guó)家授權(quán)發(fā)明專利20余項(xiàng)、美國(guó)授權(quán)發(fā)明專利2項(xiàng)。 昍爸從小愛(ài)好數(shù)學(xué)，曾在初中和高中時(shí)期獲得全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽一等獎(jiǎng)，江蘇賽區(qū)名，高考數(shù)學(xué)滿分。成為父親后，他注重孩子數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，尤其注重培養(yǎng)和提升孩子解決未知問(wèn)題的熱情與能力。在陪伴孩子成長(zhǎng)的過(guò)程中，他將自己的科研方向與育兒實(shí)踐結(jié)合在一起，做了積極探索，形成別具一格的少兒數(shù)學(xué)思維和計(jì)算思維的科學(xué)訓(xùn)練體系，因此特意開設(shè)了微信公眾號(hào)“昍爸說(shuō)數(shù)學(xué)與計(jì)算思維”（xuanbamath），分享研究心得和實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)，受到數(shù)十萬(wàn)家長(zhǎng)的喜愛(ài)。
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